Convex Analysis

Definition / 释义

凸分析：研究凸集与凸函数及其性质的数学分支，核心工具包括支撑超平面、次梯度、共轭函数（Fenchel 共轭）与对偶理论等，广泛用于优化理论、经济学与机器学习。（该词组也常作为课程名或教材书名出现。）

Pronunciation / 发音

/ˈkɑːn.vɛks əˈnæl.ə.sɪs/

Examples / 例句

Convex analysis is essential for understanding modern optimization.
凸分析对理解现代优化至关重要。

Using convex analysis, we can prove convergence guarantees for algorithms by exploiting subgradients, duality, and the geometry of convex sets.
借助凸分析，我们可以利用次梯度、对偶性以及凸集的几何结构，为算法证明收敛性保证。

Etymology / 词源

convex 来自拉丁语 convexus，意为“拱起的、向外鼓的”，在数学中引申为“线段连接两点仍落在集合内”的几何性质；analysis 来自希腊语 analysis，意为“分解、解析”。合在一起，“convex analysis”即“对凸性结构进行解析研究”，主要指围绕凸函数与凸集的一整套理论体系。

Related Words / 相关词

• Convex
• Optimization
• Duality
• Subgradient
• Convexity
• Lagrangian
• Fenchel
• Epigraph

Literary Works / 文学与著作

• Convex Analysis — R. Tyrrell Rockafellar（经典专著，书名即包含该词组）
• Variational Analysis — R. T. Rockafellar & Roger J-B Wets（大量讨论凸分析工具与推广）
• Convex Optimization — Stephen Boyd & Lieven Vandenberghe（以凸分析为基础的优化教材）
• Introductory Lectures on Convex Optimization: A Basic Course — Yurii Nesterov（用凸分析建立算法与复杂度框架）